Question

离心率为

2

2

的椭圆C₁的长轴两端点分别是双曲线C₂：x2-

y2

4

=1的两焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）直线y=x+m与椭圆C₁交于A，B两点，与双曲线C₂两条渐近线交于P，Q两点，且P，Q在A，B之间，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，求m的值．

Answer 1

分析：（1）椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意列方程组，解出即可；
（2）由|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，可得|AP|+|QB|=2|PQ|，则|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，利用弦长公式表示出|AB|，根据两点间距离公式表示出|PQ|，解此关于m方程即可．

解答：解：（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意知a²=1+4=5，所以a=

5

，
又e=

2

2

，所以

c

5

=

2

2

，解得c=

10

2

，则b²=a²-c²=5-

5

2

=

5

2

．
故椭圆C₁的方程为

x2

5

+

2y2

5

=1．
（2）由

y=x+m x2 5 + 2y2 5 =1

，得3x²+4mx+2m²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-5

3

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

16 9 m2- 4(2m2-5) 3

=

2

•

60-8m2 9

．
双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，
由

y=x+m y=2x

解得

x=m y=2m

，由

y=x+m y=-2x

解得

x=- m 3 y= 2 3 m

，
所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-

m

3

，

2

3

m），
|PQ|=

(m+ m 3 )2+(2m- 2 3 m)2

=

32 9 m2

，
因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，
故

2

•

60-8m2 9

=3

32 9 m2

，解得m=±

570 38

．
故m的值为±

570 38

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中重要题型，弦长公式、两点间距离公式、韦达定理、判别式等解决该类问题的基础知识，须熟练掌握．