Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，顶点B₁到对角线BD₁和到平面A₁BCD₁的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是

1. A.
   若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为（0，1）
2. B.
   若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为
3. C.
   若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为
4. D.
   若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为

Answer 1

C
分析：设底面边长为1，侧棱长为λ，过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B，Rt△BB₁D₁中可知B₁D₁和B₁D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，进而可推断BC⊥平面AA₁B₁B，BC⊥B₁G，B₁G⊥平面AB₁CD₁，可知B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得d，进而可知的表达式，根据λ来确定其范围．
解答：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．
在Rt△BB₁D₁中，，
由三角形面积关系得：

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，
所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，
故B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，
在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得
于是，
于是当λ＞1，所以，
所以；
故选C．
点评：本题主要考查了点到面得距离计算．点到平面的距离是近两年高考的一个热点问题，平时应注意强化训练．