Question

已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F₁，F₂分别是椭圆C左、右焦点，M椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q的坐标为（1，0）存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．若存在，求出点P坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根据M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

，可列出方程，由此可求椭圆方程；
（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，设圆Q的半径为r，点P（x₀，y₀），根据圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，利用角平分线的性质，即可求得点P的坐标，从而可求点P坐标及圆的方程．

解答：解：（1）由题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4
∴

bc=4 b2+c2=8

，
∴b=c=2，a=2

2

，
∴所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．
设圆Q的半径为r，点P（x₀，y₀），
因为圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4 2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|
∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18 x02 8 + y02 4 =1

解得x0=2，y0=±

2

当P（2，

2

）时，直线PF₁的方程为：x-2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；当P（2，-

2

）时，直线PF₁的方程为：x+2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；
所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，点P（2，±

2

），圆的方程为：（x-1）²+y²=1．

点评：本题考查直线与圆位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，椭圆的标准方程，圆与圆位置关系，数形结合，运算能力，转化与化归能力，是中档题．