Question

已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F₁，F₂分别是椭圆C左、右焦点，M椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q的坐标为（1，0）存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．若存在，求出点P坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意设椭圆的方程为，根据M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为，可列出方程，由此可求椭圆方程；
（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，设圆Q的半径为r，点P（x，y），根据圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，利用角平分线的性质，即可求得点P的坐标，从而可求点P坐标及圆的方程．
解答：解：（1）由题意设椭圆的方程为，
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为
所以，4a=，
∴，
∴b=c=2，a=2，
∴所求的椭圆方程为．
（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．
设圆Q的半径为r，点P（x，y），
因为圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，
∴=，∴=
∴
∵|QF₁|=3，∴
∴解得
当P（2，）时，直线PF₁的方程为：x-2y+2=0，Q到直线PF₁的距离=；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；当P（2，-）时，直线PF₁的方程为：x+2y+2=0，Q到直线PF₁的距离=；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；
所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，点P（2，±），圆的方程为：（x-1）²+y²=1．
点评：本题考查直线与圆位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，椭圆的标准方程，圆与圆位置关系，数形结合，运算能力，转化与化归能力，是中档题．