题目内容

3．已知函数f（x）=aex+$\frac{1}{{a{e^x}}}$+b（a＞0），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=$\frac{3}{2}$x，求a，b的值．

分析 利用导数的运算法则、几何意义即可得出．

解答 解：f′（x）=aex-$\frac{1}{a{e}^{x}}$，
∴f′（2）=$a{e}^{2}-\frac{1}{a{e}^{2}}$，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=$\frac{3}{2}$x，
∴$a{e}^{2}-\frac{1}{a{e}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，f（2）=$a{e}^{2}+\frac{1}{a{e}^{2}}$+b=3，又a＞0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{{e}^{2}}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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13．曲线y=e${\;}^{\frac{1}{2}x}$在点（4，e2）处的切线的纵截距为（　　）
A．-e2B．-4e2C．2e2D．$\frac{9}{2}$e2
14．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m?α，l?β且α∥β，则m∥l；
④若l?β，l⊥α，则α⊥β；
其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）
11．对于函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$，给出下列结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）
③函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点；
④若x1≠x2，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
⑤若x1＜x2，则$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$$＜f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$
其中所有正确结论的序号为①②④．
18．已知函数f （x）=|x-3|+1，g （x）=ax．若方程f （x）=g （x）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．
8．已知函数f（x）=a（x+1）ln（x+1）图象上的点（e2-1，f（e2-1））处的切线与直线x+3y+1=0垂直（e=2.71828）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数y=2f（x-1）与y=x3-mx（m＞1）的图象在区间[$\frac{1}{e}$，e]上交点的个数；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+em）en＜（1+en）em．
15．已知函数f（x）=lnx-bx-$\frac{a}{x}$（a，b为常数）在x=1处的切线垂直于y轴．
（1）求实数a，b的关系式；
（2）当a=-1时，函数y=f（x）与函数g（x）=-2x+m的图象有两个不同的公共点，求实数m的取值范围；
（3）数列{an}满足an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}+1}$（n∈N+且n≥2），a1=$\frac{1}{2}$，数列{an}的前n项和为Sn，求证：2n•an$≥{e}^{{s}_{n}+{a}_{n}-1}$（n∈N+，e是自然对数的底）
12．若三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为2，则三棱锥的表面积为$8+\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．
13．在△ABC中，b=4，c=6，3cos（B+C）-1=0，则a=2$\sqrt{17}$．

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