Question

解答题： 某油库已储油料a吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b吨，设an为正式运营后第n年底的储油量． (1) 求an的表达式并加以证明； (2) 为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于a吨，如果b＝a吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg2＝0.30,lg3＝0.48)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依题意，油库原有储油量为a吨，则 a1＝a－b, a2＝a1－b＝()2a－(＋1)b a3＝a2－b＝()3a－[()2＋＋1]b， 推测：an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b． ＝()na－4[()n－1]b(n∈．N)．…………4分 用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，a1＝a－4[－1]b＝a－b,推测成立．…………5分 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，ak＝()ka－4[()k－1]b成立． 当n＝k＋1时，依题意ak＋1＝ak－b． ∴ak＋1＝{()ka－4[()k－1]b}－b ＝()k＋1a－4[()k＋1－]b－b ＝()k＋1a－4[()k＋1－1]b 即当n＝k＋1时，推测也成立． 由(1)(2)知，对于n∈N，推测成立．…………8分
(2)	解：如果b＝a吨时，该油库第n年年底储油量不少于a吨，即 ()na－4[()n－1]·a≥a．…………11分 即()n≤3． n≤＝＝＝＝4.8． 说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．…………13分