Question

某油料库已储油料a吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25％，以后每年的进油量为上一年底储油量的25％，且每年运出b吨．设为正式运营第n年底的储油量．

(Ⅰ)求的表达式并加以证明；

(Ⅱ)为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于a吨，如果b＝a吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．

(取lg2＝0.30，lg3＝0.48)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题意，油库原有储油量为a吨，则a1＝a－b， 　　a2＝a1－b＝a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝a－[＋＋1]b， 　　推测：an＝a－[＋＋…＋＋1]b 　　　　　＝a－4[－1]b　　(n∈N)． 　　用数学归纳法证明： 　　(1)当n＝1时，a1＝a－4[－1]b＝a－b，推测成立 　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，ak＝a－4[－1]b成立． 　　当n＝k＋1时，依题意ak+1＝ak－b． 　　∴ak+1＝{a－4[－1]b}－b 　　＝a－4[－]b－b 　　＝a－4[－1]b 　　即当n＝k＋1时，推测也成立．由(1)(2)知，对于n∈N，推测成立．　　(Ⅱ)如果b＝a吨时，该油库第n年年底储油量不少于a吨，即 　　a－4[－1]·a≥a． 　　即≤3．n≤3＝＝＝＝4.8． 　　说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．