Question

如图的多面体是直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求证：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中多面体是直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁经平面AEFG所截后得到的图形，由勾股定理可得AD⊥BD，由直平行六面体的几何特征，可得GD⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面AEFG和平面ABCD的一个法向量，代入向量的夹角公式，即可求出平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

解答：解：（I）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°
∴由余弦定理，可得BD=

3

∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD
又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD
又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG（5分）
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2
则有A（1，0，0），B（0，

3

，0)，G(0，0，1)，E(0，

3

，2)，C(-1，

3

，0）．
∴

AE

=(-1，

3

，2)，

AG

=（-1，0，1）（7分）
设平面AEFG的法向量为n=（x，y，z）
由

n• AE =-x+ 3 y+2z=0 n• AG =-x+z=0

取n=（1，-

3

3

，1）（9分）
而平面ABCD的一个法向量为

DG

=（0，0，1），（10分）
∴cos?

DG

，n＞=

DG •n

| DG |•|n|

=

21

7

故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为arccos

21

7

（13分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得AD⊥BD和GD⊥BD，（II）的关键是建立空间直角坐标系D-xyz，将二面角问题转化为向量夹角问题．