Question

11．若f（x）是定义在（0，+∞），对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）证明：f（x）在（0，+∞）是增函数；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；
（2）将不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答 （1）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内是增函数．
（2）解：∵f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，即f（4）=2，
则不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2等价为f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜f（4），
即f（x+3）＜f（$\frac{1}{3}$）+f（4）=f（$\frac{4}{3}$），
则不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{x+3＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x＜-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
即-3＜x＜$-\frac{5}{3}$，
即不等式的解集为（-3，$-\frac{5}{3}$）．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，