Question

已知锐角α、β满足（sinα+cosα）（sinβ+cosβ）=2，则（sin2α+cos3β）²+（sin2β-cos3α）²=________．

Answer 1

3
分析：先根据已知和三角函数的和差公式得出sin（α+45°）sin（β+45°）=1，进而求出锐角α、β，再由特殊角的三角函数值得出结果即可．
解答：∵（sinα+cosα）（sinβ+cosβ）=2
∴（sinα+cosα）（sinβ+cosβ）=1
∴sin（α+45°）sin（β+45°）=1
∵正弦函数sinx∈[-1，1]
∴sin（α+45°）=1，sin（β+45°）=1
又∵锐角α、β
∴α=45°，β=45°
∴（sin2α+cos3β）²+（sin2β-cos3α）²═（sin90°+cos135°）²+（sin90°-cos135°）²=（1-）²+（1+）²=3
故答案为：3．

点评：此题考查了三角函数的和差公式以及特殊三角函数值，求出锐角α、β，是解题的关键，属于中档题．