题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式 $数学公式$ ；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列 $数学公式$ 所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，
则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函数 $\text{[math]}$ ，定义域是（-1，+∞）， $\text{[math]}$ ，
设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
则u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，则 $\text{[math]}$ ，
当-1＜x＜0时，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以v（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函数u（x）在（-1，+∞）上为减函数…（5分）
于是当-1＜x＜0时，u（x）＞u（0）=0，当x＞0时，u（x）＜u（0）=0，
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故h（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（8分）
（Ⅲ）由题意可知不等式 $\text{[math]}$ 对任意的n∈N^*都成立，
且不等式 $\text{[math]}$ 等价于不等式 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ …（10分）
由（Ⅱ）知， $\text{[math]}$ ，
即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上为减函数．
故函数F（x）在（0，1]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
所以a的最大值为 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程．
（Ⅱ）令函数 $\text{[math]}$ ，定义域是（-1，+∞）， $\text{[math]}$ ，设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，则 $\text{[math]}$ ，由此能够证明 $\text{[math]}$ ．（Ⅲ）由题意可知不等式 $\text{[math]}$ 对任意的n∈N^*都成立，且不等式 $\text{[math]}$ 等价于不等式 $\text{[math]}$ ，由此能求出a的最大值．
点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查不等式的证明，考查实数的最大值的求法．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．