Question

小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯(如图1)，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4 cm，杯深为8 cm(如图2)，称之为抛物线酒杯．

(1)请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃不能触及酒杯杯底．小明想用所学过数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？

(3)在抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2 cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中位置如何？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如图所示，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为x²＝2py(p＞0)．

　　将x＝2，y＝8代入抛物线方程，得p＝，

　　∴抛物线方程为x²＝y．

　　(2)设圆心在y轴正半轴上，且过原点的圆的方程为x²＋(y－r)²＝r²，将之代入抛物线方程，消去x，得y²＋(2－2r)y＝0，∴y₁＝0，y₂＝2r－．

　　若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要y₂＝2r－≤0，即当0＜x≤时，玻璃球一定会触及杯底．

　　(3)如上图，由于细棒的粗细均匀，所以细棒的平衡状态就是细棒的中点M(即细棒的重心)处于最低位置状态．因此问题就转化为长度为2 cm的线段AB的两个端点在抛物线x²＝y上移动，当线段AB的中点M到x轴的距离最短时，求点M的坐标．最后求得M的坐标为(±)．

　　思路解析：本题是有关抛物线在实际生活中的应用问题，在解决过程中应当注意建立恰当的坐标系以及注意如何恰当地根据题意将生活语言翻译成数学语言，从而将问题解决．