题目内容
小明家中有两种酒杯,一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形,称之为直角酒杯,另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽4 cm,杯深为8 cm,称之为抛物线酒杯.(1)请选择适当的坐标系,求出抛物线酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戏中注意到一个现象,若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,则任何玻璃球都不能触及酒杯杯底.但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中,则有些小玻璃球能触及酒杯杯底.小明想用所学数学知识研究一下,当玻璃球的半径r为多大值时,玻璃球一定会触及酒杯杯底.你能帮助小明解决这个问题吗?
(3)在抛物线酒杯中,放入一根粗细均匀、长度为2 cm的细棒,假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计,那么当细棒最后达到平衡状态时,细棒在酒杯中位置如何?
解：(1)如图,以杯底中心为原点建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=2px(p＞0).
将x=2,y=8代入抛物线方程,得p=
,
∴抛物线方程为x2=
y.
(2)设圆心在y轴正半轴上,且过原点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2,将其代入抛物线方程并消去x,得y2+(
-2r)y=0.
∴y1=0,y2=2r-
.
若要使玻璃球在杯中能触及杯底,则要y2=2r-
≤0,
即当0＜r≤
时,玻璃球一定会触及杯底.
(3)如图,由于细棒的粗细均匀,所以细棒的平衡状态就是细棒的中点M(即细棒的重心)处于最低位置状态.因此问题就转化为长度为2 cm的线段AB的两个端点在抛物线x2=
y上移动,当线段AB的中点M到x轴的距离最短时,求点M(x,y)的坐标.
由题意可知焦点F(0,
),准线l:y=-
,过A、B、M分别作l的垂线,垂足为A′、B′、D,连结AF、BF,由抛物线定义可知|MD|=
(|AA′|+|BB′|)=
(|AF|+|BF|),
由于|AB|=2大于通径
,因此在△AFB中,|AF|+|BF|≥|AB|,
∴y=|MD|-
≥
|AB|-
=
.
当且仅当线段AB过焦点F时,等号成立,
设AB的方程是y=kx+
,代入抛物线方程得x2-
kx-
=0.
由|AB|=2,得k=±
.
最后求得M的坐标为(±
,
).
开心蛙状元测试卷系列答案
