Question

椭圆C₁的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆C2：

x2

12

+

y2

4

=1的离心率相同，长轴长是C₂长轴长的一半．A（3，1）为C₂上一点，OA交C₁于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C₂的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C₂于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：长轴长为4

3

，离心率是

6

3

，进而得到椭圆C₁的a，b，c．
（2）由点A（3，1）可得直线OA：y=

1

3

x．与椭圆方程联立即可得出点P的坐标，再根据对称性即可得出点Q的坐标；
（3）分AC⊥x轴时，与直线AC的斜率垂直时两种情况讨论．只要证明k_BQ=k_QC即可．

解答：解：（1）由椭圆C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：长轴长为4

3

，离心率是

6

3

，
∴椭圆C₁：a=

3

，c=

2

，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C₁的标准方程为

x2

3

+y2=1．
（2）∵A（3，1）可得直线OA：y=

1

3

x．
联立

y= 1 3 x x2+3y2=3

解得第一象限P(

3

2

，

1

2

)，可得Q(

3

2

，-

1

2

)．
（3）当AB∥x轴时，AC⊥x轴，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴

QC

=(

3

2

，-

1

2

)，

QB

=(-

9

2

，

3

2

)，
∴

QB

=-3

QC

，∴B，Q，C三点共线．
当直线AC存在斜率时，可设直线AC：y-1=k（x-3），化为y=kx+1-3k，
联立

y=kx+1-3k x2+3y2=12

，消去y得到（3k²+1）x²+6k（1-3k）x+9（3k²-2k-1）=0，
得x_C=

9k2-6k-3

3k2+1

，y_C=kx_C+1-3k=

-3k2-6k+1

3k2+1

．
得kCQ=

-3k2-6k+1 3k2+1 + 1 2

9k2-6k-3 3k2+1 - 3 2

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

．
同理，以-

1

k

代替上式中的k，得k_BQ=

-(- 1 k )2-4(- 1 k )+1

3(- 1 k )2-4(- 1 k )-3

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

，
∴k_CQ=k_BQ，即Q，B，C三点共线，
综上可知：Q，B，C三点共线．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、对称问题、三点共线问题等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．