Question

椭圆C₁的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆的离心率相同，长轴长是C₂长轴长的一半．A（3，1）为C₂上一点，OA交C₁于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C₂的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C₂于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆可知：长轴长为，离心率是，进而得到椭圆C₁的a，b，c．
（2）由点A（3，1）可得直线OA：．与椭圆方程联立即可得出点P的坐标，再根据对称性即可得出点Q的坐标；
（3）分AC⊥x轴时，与直线AC的斜率垂直时两种情况讨论．只要证明k_BQ=k_QC即可．
解答：解：（1）由椭圆可知：长轴长为，离心率是，
∴椭圆C₁：，，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C₁的标准方程为．
（2）∵A（3，1）可得直线OA：．
联立解得第一象限P，可得Q．
（3）当AB∥x轴时，AC⊥x轴，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴，，
∴，∴B，Q，C三点共线．
当直线AC存在斜率时，可设直线AC：y-1=k（x-3），化为y=kx+1-3k，
联立，消去y得到（3k²+1）x²+6k（1-3k）x+9（3k²-2k-1）=0，
得x_C=，y_C=kx_C+1-3k=．
得=．
同理，以代替上式中的k，得k_BQ==，
∴k_CQ=k_BQ，即Q，B，C三点共线，
综上可知：Q，B，C三点共线．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、对称问题、三点共线问题等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．