题目内容
已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，
+
+
=
且|
|=|
|=|
|，
•
=
•
=
•
，则点O、N、P依次是△ABC的
| NA |
| NB |
| NC |
| O |
| OA |
| OB |
| OC |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
外心
外心
、重心
重心
、垂心
垂心
．分析：根据三角形外接圆的性质，结合|
|=|
|=|
|可得O为△ABC的外心；根据向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，可证出N为△ABC的三条中线的交点，得N为△ABC的重心；根据向量数量积的运算性质与向量减法法则，结合
•
=
•
证出
⊥
，同理
⊥
且
⊥
，因此P为P为△ABC的垂心．
| OA |
| OB |
| OC |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| CA |
| PB |
| CB |
| PA |
| AB |
| PC |
解答：解：①若|
|=|
|=|
|，则点O到A、B、C三点的距离相等，
∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；
②若
+
+
=
，则
+
=-
，
以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，
可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．
因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．
∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；
③若
•
=
•
=
•
，
可得
•
-
•
=0，即(
-
)•
=0，
∴
•
=0，可得
⊥
，点P在AC边上的高所在直线上．
同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．
因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案为：外心、重心、垂心
| OA |
| OB |
| OC |
∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；
②若
| NA |
| NB |
| NC |
| O |
| NA |
| NB |
| NC |
以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，
可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．
因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．
∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；
③若
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
可得
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PA |
| PC |
| PB |
∴
| CA |
| PB |
| CA |
| PB |
同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．
因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案为：外心、重心、垂心
点评：本题给出三角形中的点满足的向量式，求该点是三角形“五心”中的哪一个．着重考查了向量的加法、减法法则和向量数量积的运算性质等知识，考查了向量在几何中的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且|
|=|
|=|
|，
+
+
=
，
•
=
•
=
•
，则点O、N、P依次为△ABC的（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| NA |
| NB |
| NC |
| 0 |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
| A、重心、外心、垂心 |
| B、重心、外心、内心 |
| C、外心、重心、垂心 |
| D、外心、重心、内心 |
所在平面内，且
，则点O、N、P依次是
，
，
=
=
，则点O、N、P依次为△ABC的（ ）