Question

设P为椭圆上任意一点，F₁，F₂为左、右焦点．
（1）若∠F₁PF₂=60°，求||-||；
（2）椭圆上是否存在点P，使-=0若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，…（2分）
在△PF₁F₂中，cos 60°=，…（4分）
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=．…（6分）
（2）设点P（x₀，y₀），则+=1．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故=（-3-x₀，-y₀），
=（-3-x₀，-y₀），
∵•=0，∴x₀-9+y₀=0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．…（12分）
注：（2）使用定义法结合勾股定理也可说明
分析：（1）利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF₁|•|PF₂|的值．
（2）假设椭圆上存在一点P（x₀，y₀），使∠F₁PF₂=90°，利用点在椭圆上其坐标满足椭圆的方程及向量垂直的条件，计算出点P的坐标，即可判断这样的P点是否存在．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，考查是否存在性问题，一般来说，是否存在性问题，通常假设存在，从而转化为封闭型命题求解．