Question

已知函数y＝f(x)＝(a、c∈R，a＞0，b是自然数)是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞． (1) 试求函数f(x)的解析式 (2) 是否存在直线l与y＝f(x)的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为点(1，0)?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由f(x)为奇函数易知c＝0． 　　又因为a＞0，b是自然数，所以当x＜0时．f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0．所以f(x)的最大值必在x＞0时取得． 　　当x＞0时f(x)＝≤，等号当且仅当ax＝时取得． 　　所以＝ 　　又f(1)＞，所以．结合a＞0，b是自然数，可得a＝b＝1． 　　所以f(x)＝

(2)

方法一　假设存在满足条件的直线l，则P、Q的坐标可为P(x0，y0)、Q(2－x0，－y0)，且这两点都在函数f(x)＝的图象上，即 　　消去y0得－2x0－1＝0 　　解得x0＝1± 　　所以p(1＋，)，Q(1－．－)或P(1－，－)，Q(1＋，)． 　　所以，直线l的方程为x－4y－1＝0． 　　直线l的存在性还需通过充分性的检验． 　　把直线l的方程与函数y＝f(x)＝联立，不难求得，共得有三组解： 　　　　　　 　　因此，直线l与y＝f(x)的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾．所以，满足条件的直线，l不存在． 　　在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数．f(x)的性质(如奇偶性)并没有得到充分的应用．若能充分运用这个已知条件，则 可以得到共他不同的探索过程． 　　方法二　设P(x1·y1)、Q(x2·y2)，则由f(x)为奇函数可知：P关于原点的对称点(－x1，－y1)也在f(x)的图象上． 　　又y1＋y2＝0，x1＋x2＝2．所以｜Q｜＝2，且Q∥x轴，故问题等价于： 　　是否存在直线m∶y＝b．使得直线m与y＝f(x)的图象有两个距离为2的交点． 　　将m∶y＝b代入y＝ 　　解得x1x2＝ 　　令｜x1－x2｜＝2． 　　解得b＝，x1x2＝1±， 　　所以P，Q，此时直线的方程为x－4y－1＝0 　　充分性的检验过程同上． 　　以上两种解法都是从求出直线的方程入手．如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法． 　　方法三：当直线l的斜率不存在时．l∶x＝1，此时l与函数f(x)的图象只交于一点，不满足题设，所以．可设直线PQ的方程为y＝kx＋b． 　　与y＝联立，消去y得 　　kx3＋bx2＋(k－1)x＋b＝0()． 　　由P、Q关于点(1，0)对称，可得点(1，0)在直线PQ上，所以b＝－k．对于上述方程()，若k＝0，则方程只有一解，不符合题意． 　　若k≠0，则方程()的实根个数可能为1或3，不可能有2个，即过点(1，0)的直线l与y＝f(x)的图象不可能只有两个交点，所以．这样的直线不存在． 　　点评：本题考查探索性在函数中的应用．而敏锐的观察、丰富的想像，是进行有效探索的法宝．