Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出NO⊥平面ABCD，利用线面垂直的判定定理与性质定理得到MN⊥CD．
（2）利用等腰三角形的中线垂直于底边得到MN⊥PC，由（1）知，MN⊥CD，利用线面垂直的判定定理得到
MN⊥平面PCD．

解答：证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，
∴AB⊥面MNO
∴MN⊥AB，而CD∥AB，
∴MN⊥CD…（6分）
（2）∵∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，
得PM=CM，
又∵N为PC的中点，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD　　　　…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定定理；考查线面垂直的性质定理，利用三角形的中位线证明线线平行，属于中档题．