Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹与（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展开式中含xⁿ的系数相等，则实数m的取值范围是（　　）

A．（ 1 2 ， 2 3 ]

B．[ 2 3 ，1)

C．（-∞，0）

D．（0，+∞）

Answer 1

（x+m）²ⁿ⁺¹的展开式的通项公式为T_r+1=C_2n+1^rm^rx^2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展开式中当xⁿ的项的系数为C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹①
又（mx+1）²ⁿ展开式的通项公式T_k+1=C_2n^k（mx）^2n-k=m^2n-kC_2n^kx^2n-k
由2n-k=n得n=k
∴这一展开式中含xⁿ的项的系数为mⁿC_2nⁿ②
∴由①，②得C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=mⁿC_2nⁿ
mC_2n+1ⁿ=C_2nⁿ
m

(2n+1)!

(n+1)!n!

=

(2n)!

n!n!

∴m=

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2(2n+1)

∴m＞

1

2

③
又m≤

1

2

+

1

2×3

∴m≤

2

3

④
于是由③，④得

1

2

＜m≤

2

3

，
故选项为A．