Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹与（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展开式中含xⁿ的系数相等，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  2

  3

  ，1)
• C、（-∞，0）
• D、（0，+∞）

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式分别求出两个二项式的通项，令x的指数为n求出两个二项式展开式中含xⁿ的系数，列出方程，利用组合数公式得到m，n的关系，将m用n表示，通过求函数的值域，求出m的范围．

解答：解：（x+m）²ⁿ⁺¹的展开式的通项公式为T_r+1=C_2n+1^rm^rx^2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展开式中当xⁿ的项的系数为C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹①
又（mx+1）²ⁿ展开式的通项公式T_k+1=C_2n^k（mx）^2n-k=m^2n-kC_2n^kx^2n-k
由2n-k=n得n=k
∴这一展开式中含xⁿ的项的系数为mⁿC_2nⁿ②
∴由①，②得C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=mⁿC_2nⁿ
mC_2n+1ⁿ=C_2nⁿ
m

(2n+1)!

(n+1)!n!

=

(2n)!

n!n!

∴m=

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2(2n+1)

∴m＞

1

2

③
又m≤

1

2

+

1

2×3

∴m≤

2

3

④
于是由③，④得

1

2

＜m≤

2

3

，
故选项为A．

点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；考查组合数公式．