Question

（Ⅰ）求函数y=2xcosx的导数；
（Ⅱ）已知A+B=

5π

4

，且A，B≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．

Answer 1

分析：（I）根据导数公式和导数的运算法则加以计算，可得y=2xcosx的导数为y'=2cosx-2xcosx；
（II）根据题意得tan（A+B）=tan

5π

4

=1，利用两角和的正切公式代入化简可得tanA+tanB=1-tanAtanB，由此化简即可得到（1+tanA）（1+tanB）=2，原等式成立．

解答：解：（I）由导数的运算法则，可得
y'=（2xcosx）'=（2x）'cosx+2x（cosx）'=2cosx-2xcosx．
即函数y=2xcosx的导数为y'=2cosx-2xcosx；
（II）∵A+B=

5π

4

，∴tan（A+B）=tan

5π

4

=1．
即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，可得tanA+tanB=1-tanAtanB，
因此（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+（1-tanAtanB）+tanAtanB=2．
∴等式（1+tanA）（1+tanB）=2成立．

点评：本题着重考查了导数公式与导数的运算法则、两角和的正切公式和等式的证明等知识，属于基础题．