Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求二面角N-CM-B的余弦值；
（2）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是正三角形，取AC中点O，结合平面SAC⊥平面ABC，可得OA，OB，OS两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出二面角的两个半平面所在平面的一个法向量，利用平面法向量所成角的余弦值求得二面角N-CM-B的余弦值；
（2）由（1）中求出的平面CMN的一个法向量，求出向量

MB

的坐标，直接利用向量求距离的公式求点B到平面CMN的距离．

解答：解：（1）取AC中点O，连结OS、OB．∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，
∴M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)，
∴

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
设

n

=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，∴

n

=(

2

，-

6

，1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，即二面角N-CM-B的余弦值为

1

3

．
（2）由（1）得

MB

=(-1，

3

，0)，又

n

=(

2

，-

6

，1)为平面CMN的一个法向量，|

n

|=3，
∴点B到平面CMN的距离d=

| n • MB |

| n |

=

|- 2 -3 2 |

3

=

4 2

3

．

点评：本题考查了空间距离和空间角，解答的关键是建立正确的空间右手系，对于利用平面法向量求空间角和距离的公式要做到理解性的记忆，此题是中档题．