Question

如图，在面积为18的△ABC中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知

AB

•

AC

=27，

CA

•

CB

=54．
（1）建立适当坐标系，求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点D（1，1）的直线l，使l与双曲线交于不同的两点M、N，且

DM

+

DN

=0．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系．设∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n，则

AB • AC =5mcosα=27 S△ABC= 1 2 •5msinα=18

⇒m=9；

CA • CB =9ncosβ=54 S△ABC= 1 2 •9nsinβ=18

⇒n=2

13

．由此能求出双曲线E的方程．
（2）架设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M、N，并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂，由

DM

+

DN

=0知点D是线段MN的中点，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．由此能够推导出直线l的方程为9x-4y-5=0，但由

x2 4 - y2 9 =1 9x-4y-5=0

得45x²-90x+160=0，△＜0，所以不存在满足条件的直线l．

解答：解：（1）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，
线段BC的中垂线为y轴建立如图所示坐标系
设∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n
则

AB • AC =5mcosα=27 S△ABC= 1 2 •5msinα=18

⇒

5mcosα=27 5msinα=36

两式平方相加得：m=9
又

CA • CB =9ncosβ=54 S△ABC= 1 2 •9nsinβ=18

⇒

9ncosβ=54 9nsinβ=36

两式平方相加得：n=2

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设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
有双曲线的定义，有2a=||AC|-|AB||=|m-5|=4  即a=2
又2c=n=2

13

⇒c=

13

∴b²=c²-a²=9
∴双曲线E的方程为

x2

4

-

y2

9

=1
（2）架设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M、N，
并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂
由

DM

+

DN

=0知点D是线段MN的中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
由于点M、N都在双曲线E上
∴

x12 4 - y12 9 =1 x22 4 - y22 9 =1

，将两式相减得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0⇒

y1-y2

x1-x2

=

9

4

即直线l的斜率为

9

4

此时直线l的方程为y-1=

9

4

（x-1），即9x-4y-5=0
但由

x2 4 - y2 9 =1 9x-4y-5=0

⇒45x²-90x+160=0⇒△＜0
∴不存在满足条件的直线l．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．