Question

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，点B在第一象限，|AB|=3

2

．
（Ⅰ）求点B的坐标；
（Ⅱ）若直线l与双曲线C：

x2

a2

-y2=1(a＞0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值．

Answer 1

分析：（I）先设直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及B在第一象限即可求出答案．
（II）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，再由韦达定理求解．

解答：解：（I）因为倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，
所以直线AB方程为y=x-3．
设点B（x，y），
由题意可得：

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

，
因为x＞0，y＞0，
所以解得x=4，y=1，
所以点B的坐标为（4，1）．
（II）由题意可得：联立直线与双曲线的方程

y=x-3 x2 a2 -y2=1

，
所以可得(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
因为线段EF的中点坐标为（4，1），
所以x1+x2=-

6a2

1-a2

=4，
所以a=2．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，中点坐标公式与韦达定理以及两点间的距离公式．