Question

（已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展开式中第五项与第三项的二项式系数之比为15：2，求：（1）T₄；（2）满足T4＜1760xlogax的x的取值范围．

Answer 1

分析：已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展开式中第五项与第三项的二项式系数之比为15：2，由此关系建立方程求出指数n，
（1）由二项式项的公式求T₄；
（2）将（1）的结论代入T4＜1760xlogax，解不等式，求出x的取值范围；

解答：解：由题意

C 4 n

C 2 n

=

15

2

，解得n=12
（1）T₄=C₁₂³×(

x

)9(

2

3 a2

)3=1760×x

9

2

×a^-2
（2）由题意T4＜1760xlogax，得1760×x

9

2

×a^-2 ＜1760xlogax
即x

9

2

×a^-2＜xlogax，两边取以a为底的对数得log 2ax-

9

2

logax+2＞0
得log_ax＞4或logax＜

1

2

∵0＜a＜1，x＞0
∴x＞

a

或0＜x＜a⁴
即满足T4＜1760xlogax的x的取值范围是x＞

a

或0＜x＜a⁴

点评：本题考查二项式定理，解题的关键是掌握二项式系数的性质及二项式展开式中项的公式，组合数的计算公式等，本题考查了排列组合与二项式定理中的基本运算，属于基础题．主要考查根据公式进行运算的能力．