Question

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜3a²-7a+4．
（1）当a=2时，解上述不等式；
（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜23a2-7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2，分当x＜3时、当3≤x≤4时、当x＞4时三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故由题意可得不等式1＜23a2-7a+4的解集为空集．故当3a²-7a+4≤0时，不等式的解集为空集，由此求得a的取值范围．

解答：解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2，
当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2， 解得 x＞

5

2

，∴

5

2

＜x＜3．
当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2恒成立，∴3≤x≤4．
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2， 解得 x＜

9

2

，∴4＜x＜

9

2

．
综上，原不等式解集为{x|

5

2

＜x＜

9

2

}．…（6分）
（2）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故由题意可得不等式1＜23a2-7a+4的解集为空集．
∴当3a²-7a+4≤0时，关于x的不等式|x-3|+|x-4| ＜23a2-7a+4的解集是空集，
即有1≤a≤

4

3

，
∴a的取值范围是[1，

4

3

]．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化及分类讨论的数学思想，属于中档题．