题目内容

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
13
与x=1
时都取得极值
(1)求a,b的值及f(x)的单调区间
(2)若对x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
分析:(1)函数在极值点处,其导数的值为零.因此可以列出
f/(-
1
3
)=0
f/(1)=0
,解方程组可得a,b的值,得到表达式,最后根据所得表达式,讨论导数的符号,可得函数f(x)的单调区间;
(2)在(1)的条件下,求出函数f(x)在闭区间[-1,2]上的最大值,这个最大值应该小于c2,最后解不等式,可得c的取值范围.
解答:解:(1)求导数,得f′(x)=3x2+2ax+b
在x=-
1
3
与x=1时,函数取得极值

f/(-
1
3
)=
1
3
-
2a
3
+b=0 
f/(1)=3+2a+b=0
a=-1
b=-1

∴f(x)=x3-x2-x+c,其导数为f′(x)=3x2-2x-1
当x<-
1
3
或x>1时,f′(x)>0,函数为增函数;
而当-
1
3
<x<1时,f′(x)<0,函数为减函数
∴函数f(x)的增区间为(-∞,-
1
3
)和(1,+∞);减区间为(-
1
3
,1)
(2)∵对x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,
∴f(x)在区间[-1,2]上的最大值小于右边c2
根据(1)的单调性,可得f(x)的最大值是f(-
1
3
)、f(2)中的较大值
∵f(-
1
3
)=
5
27
+c<f(2)=2+c
∴f(x)的最大值是2+c
因此2+c<c2恒成立,解之得c<-1或c>2
∴c的取值范围为:(-∞,-1)∪(2,+∞).
点评:本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件等等知识点,属于中档题.
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