题目内容
设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知
=
．
（I）求角B的大小；
（II）若cos（B+C）+
sinA=2，且bc=4，求△ABC的面积．
| a |
| sinA |
| ||
| cosB |
（I）求角B的大小；
（II）若cos（B+C）+
| 3 |
分析：（I）利用正弦定理化简已知的等式，利用同角三角函数间的基本关系变形后，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由三角形的内角和定理及诱导公式化简cos（B+C）+
sinA=2，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，求出sin（A-
）的值，由A的为三角形的内角，求出A-
的范围，利用特殊角的三角函数值列出关于A的方程，求出方程的解得到A的度数，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（II）由三角形的内角和定理及诱导公式化简cos（B+C）+
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理
=
化简已知的等式得：
=
，即tanB=
，
∵B为三角形的内角，
∴B=
；
（II）在△ABC中，B+C=π-A，
∴cos（B+C）+
sinA=-cosA+
sinA=2sin（A-
），
由题意得：2sin（A-
）=2，即sin（A-
）=1，
∵-
＜A-
＜
，
∴A-
=
，即A=
，又bc=4，
则S△ABC=
bcsinA=
×4×sin
=
．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| b |
| sinB |
| ||
| cosB |
| ||
| 3 |
∵B为三角形的内角，
∴B=
| π |
| 6 |
（II）在△ABC中，B+C=π-A，
∴cos（B+C）+
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由题意得：2sin（A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴A-
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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