题目内容

若函数y=g（x）图象与函数y=（x-1）2（x≤1）的图象关于直线y=x对称，则g（4）=
-1
-1
．
分析：在函数y=g（x）图象上任意取一点A（x，y），则点A关于直线y=x的对称点B（y，x）在函数y=（x-1）2（x≤1）的图象上，故有 x=（y-1）2，y≤1，花简求得g（x）=1-
x
，从而求得g（4）的值．
解答：解：在函数y=g（x）图象上任意取一点A（x，y），则点A（x，y）关于直线y=x的对称点B（y，x），
由题意可得，点B（y，x）在函数y=（x-1）2（x≤1）的图象上，故有 x=（y-1）2，y≤1．
即 y-1=-
x
，即 y=g（x）=1-
x
，
∴g（4）=1-
4
=-1，
故答案为-1．
点评：本小题主要考查函数与函数的图象，函数图象的对称性的应用，求函数的值，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．
（2013•怀化三模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=aln(x-1)，其中a≠0．
（Ⅰ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P关于直线x=
3
2
的对称点在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x+1），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤2
g(x)，x＞2
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
（2013•潍坊一模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤1
g(x)，x＞1
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

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