Question

（文） 已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）=

2016

．

Answer 1

分析：欲由f（998）=1002，求f（2012）须考虑函数f（x）的周期性，即须由f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2推出一恒等式，根据该恒等式即可求得．

解答：解：由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+6；
由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+4≥f（x）+6，
所以f（x）+6≤f（x+6）≤f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6．
所以f（2012）=f（998+169×6）=f（998+168×6）+6=f（998+167×6）+12=…=f（998）+169×6=1002+1014=2016．
故答案为：2016．

点评：本题考查了函数的周期性，训练了抽象函数的灵活代换和变换方法，解答此题的关键在于一个“变”字，考查了学生的应变能力．