Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}^{2}，x∈[-1，2]}\\{x-4，x∈（2，5]}\end{array}\right.$
（Ⅰ）在有图给定的直角坐标系内画出f（x）的草图，并写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求满足f（x）＜0的x的取值的集合；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有两个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数解析式，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得f（x）的草图，进而可写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）结合（I）中函数的图象可得：满足f（x）＜0的x的取值的集合；
（Ⅲ）结合（I）中函数的图象可得：若方程f（x）=k有两个解，求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}^{2}，x∈[-1，2]}\\{x-4，x∈（2，5]}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

由图可得：f（x）的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]，
f（x）的单调递减区间为[0，2]；
（Ⅱ）令f（x）=0，则x=$\sqrt{2}$，或x=4．
故满足f（x）＜0的x的取值的集合为{x|$\sqrt{2}$＜x＜4}；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有两个解，
则实数k∈（-2，1）∪（1，2）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调区间，函数的零点与方程的根，不等式的解法，难度中档．