题目内容

直线l与抛物线相交于A,B两点,F是抛物线的焦点.
(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么
OA
OB
=-3
”是真命题
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是抛物线上三点,且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列.当AD的垂直平分线与x轴交于点T(3,0)时,求点B的坐标.
分析:(1)设出A,B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可,(2)由|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,则2|BF|=|AF|+|DF|,即,从而问题可解.
解答:解:(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=4x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,
此时,直线l与抛物线相交于点A(3,2
3
)、B(3,-2
3
).
OA
OB
=-3

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0,
y2=4x
y=k(x-3)
得ky2-4y-12k=0⇒y1y2=-12
又∵x1=
1
4
y12x2=
1
4
y22
OA
OB
=-3

综上所述,命题“如果直线l过点T(3,0),那么
OA
OB
=-3
”是真命题;
综上,命题成立.
(2)由|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,则2|BF|=|AF|+|DF|,即2x2=x1+x3
直线AD斜率k=
y3-y1
x3-x1
 =
4
y3+y1

所以y3+y1=
4
k
,设AD中点为(x2
2
k
)

故AD的垂直平分线为y-
2
k
=-
1
k
(x-x2)

令y=0,得x=2+x2,∴x2=1,代入y2=4x得y=±2,故B(1,2)或B(1,-2)
点评:本题考查了真假命题的证明,但要知道向量点乘运算的知识.
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