Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

b2-a2-c2

ac

=

cos(A+C)

sinAcosA

（1）求角A；  
（2）若a=

2

，求bc的取值范围．

Answer 1

分析：（1）所求式子变形后，利用余弦定理及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值化简即可求出A的度数；
（2）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式即可求出bc的范围．

解答：解：（1）由余弦定理得：cos（A+C）=-cosB=-

a2+c2-b2

2ac

，
∴已知等式变形得：

-(a2+c2-b2)

ac

=

- a2+c2-b2 2ac

sinAcosA

，
即2sinAcosA=1，即sin2A=1，
∵A为锐角三角形的内角，
∴2A=

π

2

，即A=

π

4

；
（2）∵a=

2

，cosA=

2

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：2=b²+c²-

2

bc≥2bc-

2

bc，当且仅当b=c时取等号，
则0＜bc≤

2

2- 2

=2+

2

，即bc∈（0，2+

2

]．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．