Question

已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，CE=CA=2BD=2．
（1）求证平面CAE⊥平面DAE；
（2）求：点B到平面ADE的距离．

Answer 1

分析：（1）由于N是EA的中点，容易得到DN∥BM，而BM⊥平面ECA，从而得证；
（2）直接根据V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB，列出关于点B到平面ADE的距离的等式，即可求出结论．

解答：

解：（1）证明：取AC中点M，取AE中点N，连接MN、MB，DN，
∵N是EA的中点，
∴MN=

1

2

EC．由BD=

1

2

EC，且BD⊥平面ABC，
可得四边形MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∴DN⊥AC
∵CE=CA=2BD=2
∴可得DE=DA，N是EA的中点，
∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）：设点B到平面ADE的距离为h
∵△ABC为正三角形
∴C到AB的距离d=

3

，由BD⊥平面ABC可得C到AB的距离即为C到面ABD的距离，
∵V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB．
∴

1

3

×

1

2

×DN•AE•h=

1

3

×S_△ABD•d．
∴h=

AB•d•d

DN•AE

=

AB•d•d

BM•AE

=

AB•d•d

d•AE

=

AB•d

AE

=

2× 3

22+22

=

6

2

．

点评：本题考查空间中平面与平面垂直的问题，面面垂直转化为线面垂直解决，同时注意使用线面垂直的判定定理及性质定理．