题目内容

如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，点E，M分别为A1B，C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N

(Ⅰ)求证：EM∥平面A1B1C1D1；

(Ⅱ)求二面角B－A1N－B1的正切值；

(Ⅲ)(文)设A1A＝1，求棱台MNC1－BA1B1的体积V．

(理)设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1，V2(V1＜V2)，求V1∶V2的值．

答案：
解析：

 　　(Ⅰ)证明：设A1B1的中点为F，连接EF，FC1

　　(Ⅰ)证明：设A1B1的中点为F，连接EF，FC1

　　∵E为A1B的中点　　∴EFB1B　　又C1MB1B

　　∴EFMC1　　∴四边形EMC1F为平行四边形

　　∴EM∥FC1　　∵EM平面A1B1C1D1，

　　FC1平面A1B1C1D1　　∴EM∥平面A1B1C1D1

　　(Ⅱ)解：作B1H⊥A1N于H，连接BH

　　∵BB1⊥平面A1B1C1D1　　∴BH⊥A1N

　　∴∠BHB1为二面角B－A1N－B1的平面角

　　∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN

　　平面A1BMN∩平面A1B1C1D1＝A1N，∴EM∥A1N

　　又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1　　又∵A1F∥NC1，

　　∴四边形A1FC1N是平行四边形　　∴NC1＝A1F

　　设AA1＝a，则A1B1＝2a，D1N＝a

　　在Rt△A1D1N中，A1N＝＝a，

　　∴sin∠A1ND1＝＝

　　在Rt△A1B1H中，B1H＝A1B1sin∠HA1B1＝2a·＝a

　　在Rt△BB1H中，tan∠BHB1＝＝＝

　　(Ⅲ)(文)∵A1A＝1，∴A1B1＝B1C1＝2　　NC1＝BB1＝1　　C1M＝

　　＝　　＝1　　V＝·2(＋＋1)＝

　　(Ⅲ)(理)延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C

　　又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C＝BM　　∴P∈BM

　　即直线A1N，B1C1、BM交于一点P　　又∵平面MNC1∥平面BA1B1，

　　∴几何体MNC1－BA1B1为棱台(没有以上这段证明，不扣分)

　　∵＝·2a·a＝a2　　＝·a·a＝a2

　　∴棱台MNC1－BA1B1的高为B1C1＝2a

　　∴V1＝·2a·(a2＋＋a2)＝a3

　　∴V2＝2a·2a·a－a3＝a3　　∴


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