如图.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1＝AB.点E.M分别为A1B.C1C的中点.过点A1.B.M三点的平面A1BMN交C1D1于点N (Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1, (Ⅱ)求二面角B-A1N-B1的正切值, 设A1A＝1.求棱台MNC1-BA1B1的体积V． (理)设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1.V2(V1＜V2).求V1∶V2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AB，点E，M分别为A₁B，C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N

(Ⅰ)求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

(Ⅱ)求二面角B－A₁N－B₁的正切值；

(Ⅲ)(文)设A₁A＝1，求棱台MNC₁－BA₁B₁的体积V．

(理)设截面A₁BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V₁，V₂(V₁＜V₂)，求V₁∶V₂的值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)证明：设A1B1的中点为F，连接EF，FC1

　　(Ⅰ)证明：设A₁B₁的中点为F，连接EF，FC₁

　　∵E为A₁B的中点　　∴EFB₁B　　又C₁MB₁B

　　∴EFMC₁　　∴四边形EMC₁F为平行四边形

　　∴EM∥FC₁　　∵EM平面A₁B₁C₁D₁，

　　FC₁平面A₁B₁C₁D₁　　∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁

　　(Ⅱ)解：作B₁H⊥A₁N于H，连接BH

　　∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁　　∴BH⊥A₁N

　　∴∠BHB₁为二面角B－A₁N－B₁的平面角

　　∵EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM平面A₁BMN

　　平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁＝A₁N，∴EM∥A₁N

　　又∵EM∥FC₁，∴A₁N∥FC₁　　又∵A₁F∥NC₁，

　　∴四边形A₁FC₁N是平行四边形　　∴NC₁＝A₁F

　　设AA₁＝a，则A₁B₁＝2a，D₁N＝a

　　在Rt△A₁D₁N中，A₁N＝＝a，

　　∴sin∠A₁ND₁＝＝

　　在Rt△A₁B₁H中，B₁H＝A₁B₁sin∠HA₁B₁＝2a·＝a

　　在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁＝＝＝

　　(Ⅲ)(文)∵A₁A＝1，∴A₁B₁＝B₁C₁＝2　　NC₁＝BB₁＝1　　C₁M＝

　　＝　　＝1　　V＝·2(＋＋1)＝

　　(Ⅲ)(理)延长A₁N与B₁C₁交于P，则P∈平面A₁BMN，且P∈平面BB₁C₁C

　　又∵平面A₁BMN∩平面BB₁C₁C＝BM　　∴P∈BM

　　即直线A₁N，B₁C₁、BM交于一点P　　又∵平面MNC₁∥平面BA₁B₁，

　　∴几何体MNC₁－BA₁B₁为棱台(没有以上这段证明，不扣分)

　　∵＝·2a·a＝a²　　＝·a·a＝a²

　　∴棱台MNC₁－BA₁B₁的高为B₁C₁＝2a

　　∴V₁＝·2a·(a²＋＋a²)＝a³

　　∴V₂＝2a·2a·a－a³＝a³　　∴

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