题目内容
已知向量
，
为单位向量，且
•
=
，点C是向量
，
的夹角内一点，|
|=4，
•
=
，若数列{an}满足
=
+a1
，则a6=（ ）
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OC |
| OB |
| 7 |
| 2 |
| OC |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| OB |
| OA |
分析：根据
•
=
列出一个关系式①，再根据
•
=
，可以求得
与
夹角的余弦值，同理可以求出
与
夹角的余弦值，再根据角之间的关系，可以求得
与
的夹角的余弦值，从而利用
•
列出一个等式②，联立①②即可得a1和递推关系，根据递推关系即可求得．
| OB |
| OC |
| 7 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
解答：解：∵
=
+a1
，
∴
•
=
•
+a1
•
∵向量
，
为单位向量，且
•
=
，
•
=
，
∴
=
+
a1 ①
设
与
的夹角为θ，
与
的夹角为α，
与
的夹角为β，
•
=|
||
|cosθ=
，∴cosθ=
，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=
，
•
=|
||
|cosα=
，∴cosα=
，∵α∈[0，π]，∴sinα=
，
∴cosβ=cos（θ-α）=cosθcosα+sinθsinα=
×
+
×
=
∴
•
=|
||
|cosβ=1×4×
=
•
=
•
+a1
•
，
即
=
×
+a1 ②
由①②可解得，a1=2，
=3，
由
=3可得an+1=
，
∴a2=
=
，a3=
=
，a4=
=
，a5=
=
，a6=
=
，
故选A．
| OC |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| OB |
| OA |
∴
| OB |
| OC |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| OB |
| OB |
| OA |
| OB |
∵向量
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| OC |
| OB |
| 7 |
| 2 |
∴
| 7 |
| 2 |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| 1 |
| 4 |
设
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OA |
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 8 |
| ||
| 8 |
∴cosβ=cos（θ-α）=cosθcosα+sinθsinα=
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 8 |
| ||
| 4 |
| ||
| 8 |
| 11 |
| 16 |
∴
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 11 |
| 16 |
| 11 |
| 4 |
| OA |
| OC |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| OA |
| OB |
| OA |
| OA |
即
| 11 |
| 4 |
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| 1 |
| 4 |
由①②可解得，a1=2，
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
由
| 3an+1(an+1) |
| 2an |
| 2an |
| an+1 |
∴a2=
| 2a1 |
| a1+1 |
| 4 |
| 3 |
| 2a2 |
| a2+1 |
| 8 |
| 7 |
| 2a3 |
| a3+1 |
| 16 |
| 15 |
| 2a4 |
| a4+1 |
| 32 |
| 31 |
| 2a5 |
| a5+1 |
| 64 |
| 63 |
故选A．
点评：本题考查了平面向量的数量积、三角函数求值、数列的递推公式，综合性非常强，对学生的要求很高，属于难题．
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