Question

14．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求满足f（ax）+f（x²-2a）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接运用单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；
（2）运用函数的奇偶性和单调性解不等式．

解答 解：（1）f（x）为R上的单调递增函数，证明过程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=[a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]-[a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为x₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）为R上的增函数；
（2）若f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，解得a=1，验证如下：
当a=1时，f（x）=1-$\frac{2}{2^x+1}$=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，而f（-x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$，
所以，f（x）+f（-x）=0，即f（x）为奇函数，
此时，不等式f（ax）+f（x²-2a）＜0可化为：f（x）＜f（2-x²），
又∵f（x）为R上的增函数，∴x＜2-x²，
解得，x∈（-2，1），
故实数x的取值范围为（-2，1）．

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断和证明，以及应用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题．