Question

已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过点斜率为k的直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l₁，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c由题意可得c，根据离心率求得a，进而可得b，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）通过点斜式设出直线l₁的方程，与椭圆方程联立消去y，通过判别式大于0求得k的范围
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根，根据韦达定理可得求得x₁+x₂和y₁+y₂，进而可表示出，根据A，B坐标求得，若，需求得的k不符合（2）中的k的范围，进而可判断不存在满足题设条件的l₁．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c
由题设知：c=1
由，得，
则b=1
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）过点斜率为k的直线
即
与椭圆C方程联立消y得（2k²+1）x²+4x+2=0（*）
由l₁与椭圆C有两个不同交点知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得或
∴k的范围是．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根
则，则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
则=
由题设知，∴
若，须
得
∴不存在满足题设条件的l₁．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．当设直线方程的时候要对斜率存不存两种情况讨论，最后还要看求得的k是否符合题意．