题目内容

在平面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;
(2)若,求证:直线恒过定点;
(3)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切,求半径的取值范围?

(1)准线方程:,焦点坐标;(2)证明见解析;(3).

解析试题分析:(1)根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向,焦点为,准线方程为;(2)本题实质是直线与抛物线相交问题,一般是设直线方程为,与抛物线方程联立方程组,消去可得,再设,则有,而,把刚才求出的代入可得的关系,本题中求得为常数,因此直线A一定过定点;(3)由(2)利用可求出的关系式,
,则,而直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,即,由题意,作为关于的方程,此方程只有两解,设,则有,由于时是减函数,且,即函数时递减,在时递增,因此为了保证有两解,即只有一解,故要求.
试题解析:(1)准线方程:    +2分   焦点坐标:   +4分
(2)设直线方程为 ,
 得        +6分
      +8分
  直线 过定点(0,2)   +9分
(3)      +11分
  +12分     令
  当时, 单调递减,  +13分
时, 单调递增,   +14分

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