题目内容
某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高90元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？
（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高90元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？
分析：（Ⅰ）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共可以有
种不同的选法．选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
种，利用古典概型和互为对立事件的概率计算公式即可得出．
（II）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为，0，x，2x，3x．则P（ξ=ix）=
(
)i•(
)3-i（i=0，1，2，3）．进而得出Eξ．要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有Eξ≤90．
| C | 3 9 |
| C | 3 5 |
（II）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为，0，x，2x，3x．则P（ξ=ix）=
| C | i 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共可以有
种不同的选法．
选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
种，
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-
=1-
=
．
（Ⅱ）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为，0，x，2x，3x．
ξ=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P（ξ=0）=（
）3=
，
同理可得P（ξ=x）=
（
）（
）2=
，
P（ξ=2x）=
（
）2（
）=
，P（ξ=3x）=（
）3=
．
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是
Eξ=0×
+x•
+2x•
+3x•
=1.5x．
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x≤90，所以x≤60，
故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利．
| C | 3 9 |
选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
| C | 3 5 |
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-
| ||
|
| 5 |
| 42 |
| 37 |
| 42 |
（Ⅱ）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为，0，x，2x，3x．
ξ=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P（ξ=0）=（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
同理可得P（ξ=x）=
| C | 1 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
P（ξ=2x）=
| C | 2 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是
Eξ=0×
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x≤90，所以x≤60，
故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利．
点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、互为对立事件的概率计算公式、二项分布及其数学期望等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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