Question

（2013•石家庄二模）已知函数f（x）=

1

3

x3+(

a

2

+

1

2

)x2+(2a-2)x（a∈R）有三个不同的零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）三个互不相同的零点为0，α，β（α＜β），是否存在实数a，对于任意的x∈[α，β]均有f（x）≥f（1）成立，若存在，求出a的取值集合，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x[

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2）]，令g（x）=

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2），令△＞0可求得a的范围，注意g（0）≠0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2或x=-（a-1），由（Ⅰ）按a的范围a＞7，1＜a＜

5

3

，a＜1三种情况进行讨论，根据极值点与零点的大小关系及函数f（x）的单调性结合图象逐一判断可得结论；

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

3

x3+(

a

2

+

1

2

)x2+(2a-2)x=x[

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2）]，
令g（x）=

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2），
△=(

a

2

+

1

2

)2-

4

3

(2a-2)=

(a-7)(3a-5)

12

＞0，解得a＞7或a＜

5

3

，
又g（0）=2a-2≠0，∴a≠1，
所以a的取值范围为（-∞，1）∪（1，

5

3

）∪（7，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a+1）x+2（a-1）=（x+2）[x+（a-1）]，
令f′（x）=0，得x=-2或x=-（a-1），
①当a＞7时，1-a＜-6，α＜1-a＜β＜-2＜0，f（x）在（-2，+∞）上为增函数，此时，f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不符，舍去；
②当1＜a＜

5

3

时，-

2

3

＜1-a＜0，此时，α＜-2＜β＜1-a＜0，f（x）在（1-a，+∞）上为单增函数，f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不符，舍去；
③当a＜1时，1-a＞0，此时α＜-2＜0＜1-a＜β，f（x）在（-2，1-a）上单调递减，f（x）在（1-a，+∞）上单调递增，
又对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β，
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值，即f（1-a）=f（1），
所以1-a=1，即a=0，
故a的取值集合为{0}．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值、函数的单调性，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．