Question

若函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，且f(x)_极小值＝f(－)＝－．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

f(x)＝－x³＋x ，f(x)_max＝ ，(0，)]．

解析:

解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

　　　　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则

　故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分

　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

　　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是

增函数，在[－，]上是减函数，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如图所示，

　　　　　　当－1＜m＜0时，

f(x)_max＝f(－1)＝0；

当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

当m≥时，f(x)_max＝f()＝．

　　　　　　故f(x)_max＝．………………8分

　　　　（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

　　　　　　　又令t＝xy，则0＜t≤k²，

　　　　　　　故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

　　　　　　　当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合

　　　　　　　当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，

　　　　　　　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

　　　　　　必须，

　　　　　　故实数k的取值范围是(0，)]．………………12分