Question

9．已知二次函数f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，若在[-1，1]上至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的对称轴分别表示出f（1），f（-1）和f（a-1），进而根据在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，推断函数f（x）的最大值大于0，进而根据a＜1时和a≥1时的函数的最大值，求得a的范围；

解答 解：∵f（x）的对称轴x₀=a-1，
而f（1）=-a²-2a+15，f（-1）=-a²+6a+7，f（a-1）=-3a²+6a+7；
若在[-1，1]上至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，
则f（x）_max＞0，（x∈[-1，1]），

①当x₀＜0，即a＜1时，[f（x）]_max=f（1）＞0⇒a²+2a-15＜0⇒-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②当x₀≥0，即a≥1时，[f（x）]_max=f（-1）＞0⇒a²-6a-7＜0⇒-1＜a＜7，得1≤a＜7；
综上，a的取值范围是（-5，7）；

点评 本题主要考查了函数与方程得综合运用．考查了利用函数的单调性解决方程问题．