Question

4．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为$\frac{4π}{3}$，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{4π}{3}$，半径为6cm的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求圆锥的底面的半径r，求出底面圆的面积，求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．

解答 解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为$\frac{4π}{3}$半径为6cm的扇形
∴圆锥的母线长为l=6，底面周长即扇形的弧长为$\frac{4π}{3}$×6=8π，
∴底面圆的半径r=4，可得底面圆的面积为π×r²=16π
又圆锥的高h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{5}$
故圆锥的体积为V=$\frac{1}{3}$×8π×2$\sqrt{5}$=$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$，（cm³）．
故答案为：$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$cm³．

点评 本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．