题目内容
已知椭圆
+
=1，过点P（1，1）作直线l与椭圆交于M、N两点．
（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（5）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：CD∥AB．
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（5）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：CD∥AB．
分析：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），则有xM+xN=2，yM+yN=2，利用点差法，可得
=-
，从而可求直线l的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且
=λ1
，
=λ2
，可得x3=
，y3=
，将点A、C的坐标分别代入椭圆方程，化简可得
+
=λ1-1，同理有
+
=λ2-1，由此可得λ1=λ2，故可证得结论．
| yM-yN |
| xM-xN |
| 1 |
| 2 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且
| AP |
| PC |
| BP |
| PD |
| 1+λ1-x1 |
| λ1 |
| 1+λ1-y1 |
| λ1 |
| 1+λ1-2x1 |
| 8 |
| 1+λ1-2y1 |
| 4 |
| 1+λ2-2x2 |
| 8 |
| 1+λ2-2y2 |
| 4 |
解答：（1）解：设M（xM，yM），N（xN，yN），则有xM+xN=2，yM+yN=2.
+
=1①
+
=1②
①-②化简可得
+
=0
∴
=-
．
故直线l的方程为y-1=-
(x-1)，即x+2y-3=0．（5分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且
=λ1
，
=λ2
∴1-x1=λ1（x3-1），1-y1=λ1（y3-1）
∴x3=
，y3=
将点A、C的坐标分别代入椭圆方程：
+
=1①，
+
=1②
②×λ12-①，并约去1+λ1得
+
=λ1-1③
同理有
+
=λ2-1④
④-③可得
+
=λ2-λ1
∵kAB=-
，∴
+
=0
∴
+
=λ2-λ1
即
(λ2-λ1)=0，即λ1=λ2，
所以CD∥AB．（12分）
| ||
| 8 |
| ||
| 4 |
| ||
| 8 |
| ||
| 4 |
①-②化简可得
| (xM+xN)(xM-xN) |
| 8 |
| (yM+yN)(yM-yN) |
| 4 |
∴
| yM-yN |
| xM-xN |
| 1 |
| 2 |
故直线l的方程为y-1=-
| 1 |
| 2 |
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且
| AP |
| PC |
| BP |
| PD |
∴1-x1=λ1（x3-1），1-y1=λ1（y3-1）
∴x3=
| 1+λ1-x1 |
| λ1 |
| 1+λ1-y1 |
| λ1 |
将点A、C的坐标分别代入椭圆方程：
| ||
| 8 |
| ||
| 4 |
| (1+λ1-x1)2 | ||
8
|
| (1+λ1-y1)2 | ||
4
|
②×λ12-①，并约去1+λ1得
| 1+λ1-2x1 |
| 8 |
| 1+λ1-2y1 |
| 4 |
同理有
| 1+λ2-2x2 |
| 8 |
| 1+λ2-2y2 |
| 4 |
④-③可得
| λ2-λ1+2(x1-x2) |
| 8 |
| λ2-λ1+2(y1-y2) |
| 4 |
∵kAB=-
| 1 |
| 2 |
| 2(x1-x2) |
| 8 |
| 2(y1-y2) |
| 4 |
∴
| λ2-λ1 |
| 8 |
| λ2-λ1 |
| 4 |
即
| 5 |
| 8 |
所以CD∥AB．（12分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，解题的关键是设点，利用点差法解题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的中心在原点，离心率e=
，且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，已知椭圆