题目内容

【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD EPD的中点.

1)证明:直线 平面PAB

2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)取PA的中点F,连接EFBF,通过证明CEBF,利用直线与平面平行的判定定理证明即可;
2)利用已知条件转化求解M到底面的距离,作出二面角的平面角,然后求解二面角MABD的余弦值即可.

1)证明:取PA的中点F,连接EFBF

因为EPD的中点,
所以BADABC90°


BCEF是平行四边形,可得CEBFBF平面PAB平面PAB
直线CE平面PAB
2)解:四棱锥PABCD中,
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCDABBCAD
BADABC90°EPD的中点.
AD的中点OM在底面ABCD上的射影NOC上,

AD2,则ABBC1OP
∴∠PCO60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°
可得:BNMNBC1
可得:
NQABQ,连接MQABMN
所以MQN就是二面角MABD的平面角,MQ
二面角MABD的余弦值为:

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