题目内容

已知动圆P过点 $数学公式$ 且与直线 $数学公式$ 相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）设直线y=x+2与轨迹E交于点A、B，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交轨迹E于N．
①证明：轨迹E点N处的切线l与AB平行；
②是否存在实数a，使 $数学公式$ ？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵动圆P过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 相切．
∴E的轨迹是以为 $\text{[math]}$ 焦点，
$\text{[math]}$ 为准线的抛物线方程
所以E的轨迹方程为：y=ax²（a＞0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 $\text{[math]}$ ，
得：ax²-x-2=0， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
①由y′=（ax²）′=2ax，
得： $\text{[math]}$ ，
∴l∥AB．
②假设存在实数a，使得 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
由MN⊥x轴知： $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）
故存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意E的轨迹是以为 $\text{[math]}$ 焦点， $\text{[math]}$ 为准线的抛物线方程，由此能求出E的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由 $\text{[math]}$ 得：ax²-x-2=0．△ $\text{[math]}$ ．再由韦达定理结合题设条件能够求出存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．