题目内容
设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为
【答案】分析:由双曲线中心在原点,准线平行于x轴,可设双曲线的方程为
-
=1.由离心率为
,可得a2+b2=(
a)2=c2.由点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,可转化为二次函数的最大(小)值问题来讨论,得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a2、b2,本题得解.
解答:解:依题意,设双曲线的方程为
-
=1(a>0,b>0).
∵e=
=
,c2=a2+b2,∴a2=4b2.
设M(x,y)为双曲线上任一点,则
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2(
-1)+(y-5)2
=
(y-4)2+5-b2(|y|≥2b).
①若4≥2b,则当y=4时,
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
从而所求双曲线方程为
-x2=1.
②若4<2b,则当y=2b时,
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=
(舍去b=
),b2=
,a2=49.
从而所求双曲线方程为
-
=1.
点评:本题主要考查双曲线的基本性质--离心率、基本关系,考查两点间的距离公式.对于学生的运算能力也有一定的考查.




解答:解:依题意,设双曲线的方程为


∵e=


设M(x,y)为双曲线上任一点,则
|PM|2=x2+(y-5)2
=b2(

=

①若4≥2b,则当y=4时,
|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.
从而所求双曲线方程为

②若4<2b,则当y=2b时,
|PM|min2=4b2-20b+25=4,
得b=



从而所求双曲线方程为


点评:本题主要考查双曲线的基本性质--离心率、基本关系,考查两点间的距离公式.对于学生的运算能力也有一定的考查.

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