Question

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

Answer 1

剖析：由双曲线中心在原点,准线平行于x轴，可设双曲线的方程为-=1.

    由离心率为,可得a²+b²=(a)²=c².

    由点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大(小)值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a²、b²,本题得解.

解：依题意，设双曲线的方程为-=1(a＞0,b＞0).

    ∵e==,c²=a²+b²,

    ∴a²=4b².

    设M(x,y)为双曲线上任一点，则

    |PM|²=x²+(y-5)²

    =b²(-1)+(y-5)²

    =(y-4)²+5-b²(|y|≥2b).

    ①若4≥2b,则当y=4时，

    |PM|_min²=5-b²=4,得b²=1,a²=4.

    从而所求双曲线方程为-x²=1.

    ②若4＜2b,则当y=2b时，

    |PM|_min²=4b²-20b+25=4,

    得b=(舍去b=),b²=,a²=49.

    从而所求双曲线方程为-=1.